Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x²的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），y=f（x）與y=f′（x）在同一直角坐標(biāo)系下的部分圖象如圖所示，若方程f′（x）-f（a）=0在x∈（-∞，a]上有兩解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)g（x）=f′（x）-f（a），求出導(dǎo)數(shù)，求得g（x）的增區(qū)間和減區(qū)間，要使?jié)M足題意，則需g（a）≥0，g（ln2）＜0，ln2＜a，都成立，設(shè)h（a）=2-2ln2-e^a+a²，通過(guò)導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到a的范圍．

解答： 解：設(shè)g（x）=f′（x）-f（a）=e^x-2x-（e^a-a²），
令g′（x）=e^x-2＞0，則x＞ln2，
所以g（x）在（-∞，ln2）單調(diào)遞減，
在（ln2，+∞）單調(diào)遞增，
要使?jié)M足題意，
則

g(a)≥0 g(ln2)＜0 ln2＜a

⇒

ea-2a-ea+a2≥0---(1) 2-2ln2-ea+a2＜0--(2) ln2＜a---------(3)

由（1），（3）可知a≥2
設(shè)h（a）=2-2ln2-e^a+a²，h′（a）=-e^a+2a＜0在a≥2恒成立，
所以h（a）=2-2ln2-e^a+a²在[2，+∞）上單調(diào)遞減，
所以h（a）≤h（2）=6-2ln2-e²＜0
所以（2）對(duì)任意的a∈R都成立．
綜上所述a≥2．
故答案為：[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．