分析 (1)由題意$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$,a-c=1,解出a,c及b的值即可;
(2)先討論當(dāng)k不存在時(shí),$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值,當(dāng)當(dāng)k存在時(shí),可設(shè)直線方程為y=kx+2,聯(lián)立方程組,由△>0求出k的范圍,由根與系數(shù)關(guān)系用k表示x1+x2,x1x2,由向量的坐標(biāo)運(yùn)算用k表示$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$,即可求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍.
解答 解:(1)由題意得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$,即a=2c,且a-c=1,
∴a=2,c=1,
故b2=a2-c2=3,
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$;
(2)①當(dāng)k不存在時(shí),$A(0,-\sqrt{3})$,$B(0,\sqrt{3})$,
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=(0,-\sqrt{3})•(0,\sqrt{3})=-3$;
②當(dāng)k存在時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+2,則有$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$,整理得(3+4k2)x2+16kx+4=0,
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{3+4{k^2}}}$,${x_1}{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$,(i)
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+(k{x_1}+2)(k{x_2}+2)$,
=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4,
=$1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}-\frac{{32{k^2}+24-24}}{{3+4{k^2}}}+4$,
=$-3+\frac{25}{{3+4{k^2}}}$,(ii)
△=256k2-16(4k2+3)>0,從而${k^2}>\frac{1}{4}$,(iii)
(iii)代入(ii)中$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤-3+\frac{25}{3+1}=\frac{13}{4}$,
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}∈(-∞,\frac{13}{4}]$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,韋達(dá)定理,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,圓錐曲線與函數(shù)的單調(diào)性與最值得關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | f(x)=sinx | B. | f(x)=cosx | C. | f(x)=$\frac{1}{x}$ | D. | f(x)=lg$\frac{1-x}{1+x}$ |
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A. | $[{-2\sqrt{2},2\sqrt{2}}]$ | B. | [-4,4] | C. | [-5,5] | D. | $[{-5\sqrt{2},5\sqrt{2}}]$ |
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A. | $\frac{25}{12π}$ | B. | $\frac{25}{24π}$ | C. | $\frac{3+\sqrt{3}}{2π}$ | D. | $\frac{3+\sqrt{3}}{4π}$ |
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A. | (-∞,-e) | B. | (-∞,-1) | C. | (1,+∞) | D. | (e,+∞) |
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