Question

3．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，1+2cos（B+C）=0，則BC邊上的高為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 1+2cos（B+C）=0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，A．利用正弦定理可得：sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及其B，C．BC邊上的高h(yuǎn)=$\sqrt{2}$sinC．

解答 解：∵1+2cos（B+C）=0，
∴1-2cosA=0，即cosA=$\frac{1}{2}$．
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$．
由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
b＜a，
∴B為銳角，
∴B=$\frac{π}{4}$，
∴C=π-A-B=$\frac{5π}{12}$．
∴BC邊上的高h(yuǎn)=$\sqrt{2}$$sin\frac{5π}{12}$=$\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、和差公式、直角三角形邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．