【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，求得該函數(shù)的極值點(diǎn)，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，進(jìn)而可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和遞增區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，由恒成立，得出，構(gòu)造函數(shù)，可得，然后對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證是否恒成立，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，令，得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）若恒成立，即恒成立

時(shí)，，即，即，

設(shè)，

則，

①當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

此時(shí)，即成立，所以，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，不合乎題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，在A，B實(shí)驗(yàn)地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測其生長情況，分別在A，B試驗(yàn)地隨機(jī)抽選各50株，對每株進(jìn)行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評分為80及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗．

（1）求圖中a的值，并求綜合評分的中位數(shù)；

（2）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，若在A，B兩塊實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)．

優(yōu)質(zhì)花苗

非優(yōu)質(zhì)花苗

合計(jì)

甲培育法

20

乙培育法

10

合計(jì)

附：下面的臨界值表僅供參考．

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

（參考公式：，其中．）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且離心率為

(1)求橢圓的方程；

(2)若的角平分線所在的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為為橢圓上的一點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為確定數(shù)學(xué)成績與玩手機(jī)之間的關(guān)系，從全校隨機(jī)抽樣調(diào)查了40名同學(xué)，其中40%的人玩手機(jī)．這40位同學(xué)的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（百分制）的莖葉圖如圖①所示．?dāng)?shù)學(xué)成績不低于70分為良好，低于70分為一般．

（1）根據(jù)以上資料完成下面的列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績良好與不玩手機(jī)有關(guān)系”．

數(shù)學(xué)成績良好

數(shù)學(xué)成績一般

總計(jì)

不玩手機(jī)

玩手機(jī)

總計(jì)

40

（2）現(xiàn)將40名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分為如下5組：

，其頻率分布直方圖如圖②所示．計(jì)算這40名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)，由莖葉圖得到的真實(shí)值記為，由頻率分布直方圖得到的估計(jì)值記為（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），求與的誤差值．

（3）從這40名同學(xué)數(shù)學(xué)成績高于90分的7人中隨機(jī)選取2人，求至少有一人玩手機(jī)的概率．

附：，

這40名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績總和為2998分．

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直四棱柱的棱長均相等，且BAD=60，M是側(cè)棱DD1的中點(diǎn)，N是棱C1D1上的點(diǎn)．

（1）求異面直線BD1和AM所成角的余弦值；

（2）若二面角的大小為，，試確定點(diǎn)N的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面.

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)使得，，，四點(diǎn)共面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面，，且，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）若直線和平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新型冠狀病毒（SARS-COV-2）是2019年在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，主要通過呼吸道飛沫進(jìn)行傳播，鑒于其特殊的傳播途徑，某科學(xué)醫(yī)療機(jī)構(gòu)發(fā)現(xiàn)一次性醫(yī)用口罩起著一定的防護(hù)作用一般，口罩在投入市場前需做一系列的檢測，其中罩體污點(diǎn)、鼻梁條缺陷、耳繩異常等常規(guī)瑕疵肉眼可見，而耳繩尤為關(guān)鍵，會出現(xiàn)耳繩缺失、錯(cuò)位、錯(cuò)熔、漏熔四種情況 .現(xiàn)在生產(chǎn)商大多采用全自動(dòng)生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，某工廠現(xiàn)有甲（1臺本體機(jī)拖2臺耳帶機(jī)）和乙（1臺本體機(jī)拖3臺耳帶機(jī)）兩條生產(chǎn)線，已知甲生產(chǎn)線的日產(chǎn)量為7萬只，乙生產(chǎn)線的日產(chǎn)量為10萬只，生產(chǎn)商為了了解是否有必要更換原有的甲生產(chǎn)線，在設(shè)備生產(chǎn)狀況相同，不計(jì)其他影響的狀態(tài)下，分別統(tǒng)計(jì)了兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的1000只口罩的耳繩情況，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

耳繩情況

合格

缺失

錯(cuò)位

錯(cuò)熔

漏熔

甲生產(chǎn)線

950

9

19

11

11

乙生產(chǎn)線

900

19

35

25

21

（1）從乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的1000只口罩中隨機(jī)抽取3只，將合格品的只數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）假設(shè)口罩的生產(chǎn)成本為0.4元/只，若耳繩發(fā)生缺陷時(shí)可通過人工修復(fù)至合格來挽回?fù)p失。耳繩缺失、漏熔時(shí)人工修復(fù)費(fèi)為0.01元/只；錯(cuò)位與錯(cuò)熔時(shí)需更換耳繩，其中耳繩成本為0.06元/根，人工修復(fù)費(fèi)為0.02元/只．

①以修復(fù)費(fèi)的平均數(shù)作為判斷依據(jù)，判斷哪一條生產(chǎn)線在每日生產(chǎn)過程中挽回?fù)p失時(shí)所需費(fèi)用較少？

②若經(jīng)一次檢驗(yàn)就合格的口罩，生產(chǎn)商以1元/只的批發(fā)價(jià)銷售給市場，經(jīng)人工修復(fù)的打八折出售。以該工廠的日平均收入為依據(jù)分析該生產(chǎn)商是否有必要更換甲生產(chǎn)線？

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