Question

10．如圖，已知PD垂直于以AB為直徑的圓O所在的平面，點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BD=PD=3，AC=2AD=2．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAB
（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)CO，推導(dǎo)出CD⊥AO，PD⊥CD，由此能證明CD⊥平面PAB．
（Ⅱ）利用等體積方法，求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

解答 （Ⅰ）證明：由BD=3，AD=1，得AB=4，AO=2，得點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)
連接OC，∵AO=AC=OC=2，∴△ACO為正三角形，
∴CD⊥AO，
又PD⊥圓O所在的平面，CD在圓O所在平面內(nèi)，
∴PD⊥CD，
∵PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得PC=2$\sqrt{3}$，BC=2$\sqrt{3}$，PB=3$\sqrt{2}$，
∴S_△PCB=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{30}}{2}$=$\frac{3\sqrt{15}}{2}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
由等體積可得$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×3=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{15}}{2}d$，∴d=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴點(diǎn)A到平面PBC的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)A到平面PBC的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等體積法的合理運(yùn)用．