Question

6．已知圓M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點．
（1）若$|{AB}|=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，求|MQ|及直線MQ的方程；
（2）求證：直線AB恒過定點．

Answer 1

分析 （1）設直線MQ∩AB=P，則|AP|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，由|AM|=1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，求出|MP|=$\frac{1}{3}$，|MQ|=3，設Q（x，0），由點M（0，2），求出Q（$\sqrt{5}$，0）或（-$\sqrt{5}$，0），由此能求出直線MQ的方程．
（2）設點Q（q，0），由幾何性質可以知道，A，B在以QM為直徑的圓上，AB為兩圓的公共弦，由此能證明直線AB恒過定點（0，$\frac{3}{2}$）．

解答 解：（1）設直線MQ∩AB=P，則|AP|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又|AM|=1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，
∴|MP|=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，|AM|²=|MQ|•|MP|，∴|MQ|=3，
設Q（x，0），而點M（0，2），由$\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}}$=3，得x=$±\sqrt{5}$，則Q（$\sqrt{5}$，0）或（-$\sqrt{5}$，0），
從而直線MQ的方程為：2x+$\sqrt{5}y$-2$\sqrt{5}$=0，或2x-$\sqrt{5}y+2\sqrt{5}$=0．
（2）證明：設點Q（q，0），由幾何性質可以知道，A，B在以QM為直徑的圓上，
此圓的方程為x²+y²-qx-2y=0，AB為兩圓的公共弦，
兩圓方程相減得qx-2y+3=0，
∴直線AB：y=$\frac{q}{2}x+\frac{3}{2}$恒過定點（0，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查線段長及直線方程的求法，考查直線恒過定點的證明，考查直線方程、兩點間距離公式、圓等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．