Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，△PAD為正三角形，且E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn)，PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PEB；
（Ⅱ）求EF與平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明：AD⊥平面PEB，利用四邊形ABCD為菱形，可得AD∥BC，即可證明BC⊥平面PEB；
（Ⅱ）以E為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求EF與平面PDC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD，
∴PE⊥AD，BE⊥AD，
∵PE∩BE=EM，
∴AD⊥平面PEB，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC，
∴BC⊥平面PEB；
（Ⅱ）解：以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則

不妨設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則AE=ED=1，PA=2，PE=

3

，BE=

AB2-AE2

=

3

．
則點(diǎn)A(1，0，0)，B(0，

3

，0)，C(-2，

3

，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，

3

)，F(xiàn)(

1

2

，

3

2

，0).

DC

=(-1，

3

，0)，

DP

=(1，0，

3

)．
設(shè)平面PDC的法向量為

n

=（x，y，z）．
則由

-x+ 3 y=0 x+ 3 z=0

解得

x= 3 y x=- 3 z.

不妨令z=1，得

n

=（-

3

，-1，1），
又

EF

=(

1

2

，

3

2

，0)，
所以EF與平面PDC所成角的正弦值為|

(- 3 ，-1，1)•( 1 2 ， 3 2 ，0)

5 ×1

|=

15

5

．…（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及線面角及其度量，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．