Question

15．在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)如圖所示，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是$\frac{1}{25}$，則cos²θ-sinθ²+2=（　　）

• A． $\frac{57}{25}$
• B． $\frac{24}{25}$
• C． -$\frac{57}{25}$
• D． -$\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知每個直角三角形的長直角邊為cosθ，短直角邊為sinθ，小正方形的邊長為cosθ-sinθ，先利用小正方形的面積求得∴（cosθ-sinθ）²的值，根據(jù)θ為直角三角形中較小的銳角，判斷出cosθ＞sinθ，求得cosθ-sinθ的值，進(jìn)而求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）²的進(jìn)而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin²θ-cos²θ展開后，把cosθ+sinθ和cosθ-sinθ的值代入即可求得答案．

解答 解：依題意可知拼圖中的每個直角三角形的長直角邊為cosθ，短直角邊為sinθ，小正方形的邊長為cosθ-sinθ，
∵小正方形的面積是$\frac{1}{25}$，
∴（cosθ-sinθ）²=$\frac{1}{25}$，
又θ為直角三角形中較小的銳角，
∴cosθ＞sinθ，
∴cosθ-sinθ=$\frac{1}{5}$，
又∵（cosθ-sinθ）²=1-2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，
∴2cosθsinθ=$\frac{24}{25}$，
∴1+2sinθcosθ=$\frac{49}{25}$，
即（cosθ+sinθ）²=$\frac{49}{25}$，
∴cosθ+sinθ=$\frac{7}{5}$，
∴sin²θ-cos²θ=（cosθ+sinθ）（sinθ-cosθ）=-$\frac{7}{25}$．
∴cos²θ-sin²θ+2=2+$\frac{7}{25}$=$\frac{57}{25}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析推理和基本的運算能力，屬于中檔題．