Question

18．銳角三角形ABC的三邊長a，b，c成等差數(shù)列，且a²+b²+c²=21，則實數(shù)b的取值范圍是（　　）

• A． $（{\sqrt{6}，\sqrt{7}}]$
• B． $（{0，\sqrt{7}}]$
• C． $（{\frac{{2\sqrt{42}}}{5}，\sqrt{7}}]$
• D． （6，7]

Answer 1

分析 設(shè)公差為d，用b，d表示出a，c，根據(jù)a+b＞c，a²+b²＞c²得出b，d的關(guān)系，代入a²+b²+c²=21即可解出b的范圍．

解答 解：設(shè)a≤b≤c，a，b，c組成的等差數(shù)列公差為d（d≥0），
則a=b-d，c=b+d，
∵a²+b²+c²=21，∴（b-d）²+b²+（b+d）²=21，
即3b²+2d²=21，
∴當(dāng)d²=0時，b取得最大值$\sqrt{7}$；
由a+b＞c得b-d+b＞b+d，即d＜$\frac{2}$，
∴3b²+2×$\frac{^{2}}{4}$＞21，解得b＞$\sqrt{6}$；
由三角形ABC為銳角三角形可知cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，
即a²+b²-c²＞0，
∴（b-d）²+b²-（b+d）²＞0，解得d＜$\frac{4}$，
∴3b²+2×$\frac{^{2}}{16}$＞21，解得b＞$\frac{2\sqrt{42}}{5}$，
綜上，$\frac{2\sqrt{42}}{5}$＜b≤$\sqrt{7}$．
故選C．

點評 本題考查了余弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．