Question

14．函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)y=x+$\frac{2}{x}$在$（0，\sqrt{2}]$上是減函數(shù)，在$[\sqrt{2}，+∞）$上是增函數(shù)，函數(shù)y=x+$\frac{3}{x}$在$（0，\sqrt{3}]$上是減函數(shù)，在$[\sqrt{3}，+∞）$上是增函數(shù)，
…利用上述所提供的信息解決下列問題：若函數(shù)y=x+$\frac{3^m}{x}$（x＞0）的值域是[6，+∞），則實數(shù)m的值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 可根據(jù)$y=x+\frac{1}{x}，y=x+\frac{2}{x}，y=x+\frac{3}{x}$在（0，+∞）上的單調(diào)性，從而可推導(dǎo)出函數(shù)$y=x+\frac{{3}^{m}}{x}$在（0，+∞）上的單調(diào)性，進而可求出該函數(shù)的最小值，由最小值為6即可建立關(guān)于m的方程，解方程便可得出m的值．

解答 解：由條件得：
$y=x+\frac{{3}^{m}}{x}$在（0，$\sqrt{{3}^{m}}$]上是減函數(shù)，在$[\sqrt{{3}^{m}}，+∞）$上是增函數(shù)；
∴$x=\sqrt{{3}^{m}}$時，該函數(shù)在（0，+∞）上取最小值$\sqrt{{3}^{m}}+\frac{{3}^{m}}{\sqrt{{3}^{m}}}=2\sqrt{{3}^{m}}=6$；
∴3^m=9；
∴m=2．
故選B．

點評 考查對函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}，y=x+\frac{2}{x}$以及$y=x+\frac{3}{x}$單調(diào)性的判斷，從而可通過歸納的方法得出函數(shù)$y=x+\frac{a}{x}$（a＞0）的單調(diào)性，進而能夠得出$y=x+\frac{{3}^{m}}{x}$的單調(diào)性，以及根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法．