Question

12．曲線C由$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≥0）和$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≥0）兩部分組成，若過點A（0，2）作直線l與曲線C有且僅有兩個公共點，則直線l的斜率的取值范圍為$（{-\frac{{\sqrt{5}}}{3}，-\frac{2}{3}}）∪（{\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{5}}}{3}}）$．

Answer 1

分析 由A在y軸上，且在橢圓內部，由題意可知，當直線過B（-3，0）時，直線AB與曲線C有三個交點，直線AB繞A點向y軸正半軸旋轉至與雙曲線的漸近線平行時，易知直線l與曲線C在第一象限均有兩個交點，由雙曲線的漸近線方程可知：k₁＜$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，即可求得∴$\frac{2}{3}$＜k₁＜$\frac{\sqrt{5}}{3}$，同理當-$\frac{\sqrt{5}}{3}$＜k₁＜-$\frac{2}{3}$時直線與曲線C在第二象限有兩個交點，即可求得直線l的斜率的取值范圍．

解答 解：如圖過點A的直線繞A旋轉時，當直線l過點B時直線AB與曲線C有三個交點，
即k₁＞$\frac{2}{3}$，
將直線AB繞A點向y軸正半軸旋轉至與雙曲線的漸近線平行時，易知直線l與曲線C在第一象限均有兩個交點，
k₁＜$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$\frac{2}{3}$＜k₁＜$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
同理當-$\frac{\sqrt{5}}{3}$＜k₁＜-$\frac{2}{3}$時直線與曲線C在第二象限有兩個交點，
∴斜率$（{-\frac{{\sqrt{5}}}{3}，-\frac{2}{3}}）∪（{\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{5}}}{3}}）$變化時均滿足條件．
/
故答案為：$（{-\frac{{\sqrt{5}}}{3}，-\frac{2}{3}}）∪（{\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{5}}}{3}}）$．

點評 本題考查直線與橢圓和雙曲線的位置關系，考查雙曲線的簡單幾何性質，斜率公式，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．