Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{9}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}，x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且f（x）≥t恒成立．
（1）求實數(shù)t的最大值；
（2）當(dāng)t取最大時，求不等式$|{x+\frac{t}{5}}|+|{2x-1}|≤6$的解集．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為t≤f（x）_min，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出t的范圍即可；
（2）原式變?yōu)閨x+5|+|2x-1|≤6，通過討論x的范圍，解不等式，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）因為$f（x）=\frac{9}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}，x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且f（x）≥t恒成立，
所以只需t≤f（x）_min，
又因為$f（x）=\frac{9}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}=（{\frac{9}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}}）$$（{{{sin}^2}x+{{cos}^2}x}）=13+\frac{{9{{cos}^2}x}}{{{{sin}^2}x}}+\frac{{4{{sin}^2}x}}{{{{cos}^2}x}}$
$≥13+2\sqrt{9×4}=25$，
所以t≤25，即t的最大值為25．
（2）t的最大值為25時原式變?yōu)閨x+5|+|2x-1|≤6，
當(dāng)$x≥\frac{1}{2}$時，可得3x+4≤6，解得$\frac{1}{2}≤x≤\frac{2}{3}$；
當(dāng)x≤-5時，可得-3x-4≤6，無解；
當(dāng)$-5≤x≤\frac{1}{2}$時，可得-x+6≤6，可得$0≤x≤\frac{1}{2}$；
綜上可得，原不等式的解集是$\left\{{x|0≤x≤\frac{2}{3}}\right\}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查解絕對值不等式問題，是一道中檔題．