Question

6．某工廠生產A，B兩種型號的童車，每種童車都要經過機械、油漆和裝配三個車間進行加工，根據該廠現有的設備和勞動力等條件，可以確定各車間每日的生產能力，我們把它們拆合成有效工時來表示．現將各車間每日可利用的有效工時數、每輛童車的各個車間加工時所花費的工時數以及每輛童車可獲得的利潤情況列成如表：

車間	每輛童車所需的加工工時		有效工時（小時/日）
	A	B
機械	0.8	1.2	40
油漆	0.6	0.8	30
裝配	0.4	0.6	25
利潤（元/輛）	6	10

試問這兩種型號的童車每日生產多少輛，才能使工廠所獲得的利潤最大？

Answer 1

分析 設x，y（單位輛）分別是A，B兩種型號童車的日生產量，工廠每日可獲得利潤為z元，寫出約束條件、目標函數，欲求利潤最大，即求可行域中的最優(yōu)解，在線性規(guī)劃的解答題中使用直線平移法求出最優(yōu)解，即將目標函數看成是一條直線，分析目標函數Z與直線截距的關系，進而求出最優(yōu)解．注意：最后要將所求最優(yōu)解還原為實際問題．

解答 解：設x，y（單位輛）分別是A，B兩種型號童車的日生產量，工廠每日可獲得利潤為z元，則z=6x+10y，其中x，y滿足約束條件：…（1分）
$\left\{\begin{array}{l}{0.8x+1.2y≤40}\\{0.6x+0.8y≤30}\\{0.4x+0.6y≤25}\\{x，y∈N}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y≤100}\\{3x+4y≤150}\\{2x+3y≤125}\\{x，y∈N}\end{array}\right.$，…（4分）
作出可行域如圖：

…（7分）
將z=6x+10y化成直線l：y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{1}{10}$z，當z變化時，直線l的斜率為-$\frac{3}{5}$，在y軸上的截距為$\frac{1}{10}$z的一簇平行直線，
當直線在y軸上的截距最大時z取最大值．
由圖易知，直線過A點時，z取最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{2x+3y=100}\end{array}\right.$得A（0，$\frac{100}{3}$）…（9分）
由于A點不是整數點，在可行域的整數點中，（2，32）是最優(yōu)解．
此時z_max=322（元）…（11分）
答：生產A種童車2輛，B種童車32輛，能使工廠獲得最大利潤，最大利潤為332元．…（12分）

點評 在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標函數Z與直線截距之間的關系⇒④使用平移直線法求出最優(yōu)解⇒⑤還原到現實問題中．