Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a_n=$\frac{{2{S_n}+1}}{3}$，n∈N^*．
（1）求通項(xiàng)公式a_n及S_n；
（2）設(shè)b_n=|a_n-10|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=$\frac{{2{S_n}+1}}{3}$，則a_n+1=$\frac{2{S}_{n+1}+1}{3}$，a_n-1-a_n=$\frac{2（{S}_{n+1}-{S}_{n}）}{3}$=$\frac{2}{3}{a}_{n+1}$，整理a_n-1=3a_n，當(dāng)n=1時(shí)，求得a₁，求得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及S_n；
（2）求得b_n的通項(xiàng)公式，分別求得當(dāng)n≤3時(shí)及當(dāng)n≥4時(shí)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）由題意，a_n=$\frac{{2{S_n}+1}}{3}$，n∈N^*，則a_n+1=$\frac{2{S}_{n+1}+1}{3}$，
作差得：a_n+1-a_n=$\frac{2（{S}_{n+1}-{S}_{n}）}{3}$=$\frac{2}{3}{a}_{n+1}$，
化簡(jiǎn)得：a_n+1=3a_n，
又n=1時(shí)，a₁=$\frac{2{S}_{1}+1}{3}$=$\frac{2{a}_{1}+1}{3}$，解得a₁=1，
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則a_n=3^n-1，
S_n=$\frac{1（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$；
（2）a_n-10=3^n-1-10，
則b_n=|a_n-10|=$\left\{\begin{array}{l}{10-{3}^{n-1}}&{n≤3}\\{{3}^{n-1}-10}&{n≥4}\end{array}\right.$，
當(dāng)n≤3時(shí)，T_n=10n-$\frac{1（1-{3}^{n}）}{1-3}$=10n-$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
當(dāng)n≥4時(shí)，T_n=T₃+$\frac{{3}^{3}（1-{3}^{n-3}）}{1-3}$-10（n-3）=17+$\frac{{3}^{n}-27}{2}$-10+30=$\frac{{3}^{n}-20n+67}{2}$
綜上則T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20n-{3}^{n}+1}{2}}&{（n≤3）}\\{\frac{{3}^{n}-20n+67}{2}}&{（n≥4）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，考查等比通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查分類討論法，綜合考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．