Question

1．如圖1，在邊長(zhǎng)為$2\sqrt{3}$的正方形ABCD中，E、O分別為 AD、BC的中點(diǎn)，沿 EO將矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如圖2所示，點(diǎn)G 在BC上，BG=2GC，M、N分別為AB、EG中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面OBC；
（Ⅱ）求二面角 G-ME-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：取OG中點(diǎn)F，連結(jié)BF、FN，證明MN∥BF，然后證明MN∥平面OBC．法二：延長(zhǎng)EM、OB交于點(diǎn)Q，連結(jié)GQ，證明M為EQ中點(diǎn)，推出MN∥QG，然后證明MN∥平面OBC．
（Ⅱ）法一：證明OG⊥OB，推出OE⊥平面OBC，證明OE⊥OG，然后推出OG⊥QE，說(shuō)明∠OMG為二面角G-ME-B的平面角，Rt△MOG中，求解即可．
法二：建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出面BOE的一個(gè)法向量，平面MGE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：法一如圖13取OG中點(diǎn)F，連結(jié)BF、FN，
則中位線FN∥$\frac{1}{2}$OE且FN=$\frac{1}{2}$OE，
又BM∥OE且BM=$\frac{1}{2}$OE  …（1分）
所以FN∥BM且FN=BM，所以四邊形BFNM是平行四邊形，所以MN∥BF，…（2分）
又MN?平面OBC，BF?平面OBC，所以MN∥平面OBC．…（4分）
法二：如圖14，延長(zhǎng)EM、OB交于點(diǎn)Q，連結(jié)GQ，
因?yàn)锽M∥OE且BM=$\frac{1}{2}$OE，所以$\frac{QM}{QE}=\frac{BM}{OE}=\frac{1}{2}$，

M為EQ中點(diǎn)，…（1分）
所以中位線MN∥QG    …（2分）
又MN?平面OBC，QG?面OBC，所以MN∥平面OBC．…（4分）
（Ⅱ）解：法一如圖14，因?yàn)镺B=OC=$\sqrt{3}$，∠BOC=120°，
所以$BC=\sqrt{O{B^2}+O{C^2}-2×OB×OCcos120°}=3$，…（5分）
又BG=2GC．所以$BG=\frac{2}{3}BC=2，GC=1$，$OG=\sqrt{C{G^2}+O{C^2}-2×CG×OCcos30°}=1$，
∴OB²+OG²=BG²，∴∠BOG=90°，OG⊥OB，…（6分）
又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，
∴OE⊥平面OBC，OG?面OBC，
∴OE⊥OG…（7分）
又OB∩OE=O，所以O(shè)G⊥平面OBE，QE?面OBE  OG⊥QE，…（8分）
又M為EQ中點(diǎn)，所以O(shè)Q=OE=$2\sqrt{3}$，所以O(shè)M⊥QE，OM∩OG=O，
所以QE⊥平面OMG，QE⊥MG，∠OMG為二面角G-ME-B的平面角．…（9分）
所以Rt△MOG中，$OM=\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{6}$，$MG=\sqrt{{{（\sqrt{6}）}^2}+{1^2}}=\sqrt{7}$，…（11分）$cos∠OMG=\frac{OM}{MG}=\frac{{\sqrt{6}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{42}}}{7}$，∴二面角 G-ME-B的余弦值為$\frac{{\sqrt{42}}}{7}$…（12分）
法二：如圖15，∵OB=OC=$\sqrt{3}$，∠BOC=120°，

∴$BC=\sqrt{O{B^2}+O{C^2}-2×OB×OCcos120°}=3$，…（5分）
又BG=2GC，∴$BG=\frac{2}{3}BC=2，GC=1$，$OG=\sqrt{C{G^2}+O{C^2}-2×CG×OCcos30°}=1$，
∴OB²+OG²=BG²，
∴∠BOG=90°，OG⊥OB，…（6分）
又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，
∴OE⊥平面OBC，OG?面OBC，
∴OE⊥OG…（7分）
又OB∩OE=O，所以O(shè)G⊥平面OBE，OE?面OBE，∴OG⊥OE…（8分）
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則M（$\sqrt{3}，0，\sqrt{3}）$，G（0，1，0），E（$0，0，2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{MG}=（-\sqrt{3}，1，-\sqrt{3}），\overrightarrow{ME}=（-\sqrt{3}，0，\sqrt{3}）$，…（9分）
而 $\overrightarrow{n_1}=（0，1，0）$是平面BOE的一個(gè)法向量，…（11分）
設(shè)平面MGE的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{MG}=-\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}z=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{ME}=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，
令 z=1，則$x=1，y=2\sqrt{3}$，
面MGE的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_2}=（1，2\sqrt{3}，1）$，…（10分）
所以$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{\overrightarrow{|{n_1}}|•\overrightarrow{|{n_2}|}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+12+1}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{14}}}=\frac{{\sqrt{42}}}{7}$
所以，二面角 G-ME-B的余弦值為$\frac{{\sqrt{42}}}{7}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行于垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．