Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2f（a_n-1）+1，且a₁=3，a_n＞1．
（1）設(shè)b_n=log₂（a_n-1），證明：數(shù)列{b_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得${a_{n+1}}-1=2{（{a_n}-1）^2}$，再由題設(shè)可得b_n+1+1，整理可得b_n+1+1=2（b_n+1），結(jié)合a₁=3，a_n＞1，由等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n=2ⁿ-1，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：由函數(shù)f（x）=x²，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2f（a_n-1）+1，
有${a_{n+1}}=2{（{a_n}-1）^2}+1$，
∴${a_{n+1}}-1=2{（{a_n}-1）^2}$
∵b_n=log₂（a_n-1），
則${b_{n+1}}+1={log_2}（{a_{n+1}}-1）+1={log_2}2{（{a_n}-1）^2}+1=2（{log_2}（{a_n}-1）+1）=2（{b_n}+1）$，
又∵b₁=log₂（a₁-1）=1，∴b₁+1≠0，從而b_n+1≠0，
∴$\frac{{{b_{n+1}}+1}}{{{b_n}+1}}=2$，
則數(shù)列{b_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，${b_n}+1={2^n}$，則${b_n}={2^n}-1$，
則${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（{2^1}+{2^2}+…+{2^n}）-n=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n={2^{n+1}}-2-n$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式及求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．