Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，n），$\overrightarrow$=（1，1），滿足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≥2且$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）≤0，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的取值范圍是[2，4]．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的坐標運算和向量的數(shù)量積的運算可得（m-1）²+（n-1）²≤2，設m-1=tcosθ，n-1=tsinθ，0≤t≤$\sqrt{2}$，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出m+n的范圍，再根據(jù)條件可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=m+n，問題得以解決．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（m，n），$\overrightarrow$=（1，1），
∴$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=（m-2，n-2），
由$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）≤0，
∴m（m-2）+n（n-2）≤0；
∴（m-1）²+（n-1）²≤2；
∴設m-1=tcosθ，n-1=tsinθ，0≤t≤$\sqrt{2}$；
∴m+n=t（sinθ+cosθ）+2=$\sqrt{2}$tsin（θ+$\frac{π}{4}$）+2，
∴0≤m+n≤4，
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=m+n，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≥2
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的取值范圍是[2，4]．
故答案為：[2，4]．

點評 考查向量減法和數(shù)乘的坐標運算，以及數(shù)量積的坐標運算，cos²θ+sin²θ=1的運用，圓的標準方程和參數(shù)方程的轉(zhuǎn)換，以及正弦函數(shù)的最值．