Question

3．橢圓$C：\;\;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦點為F（1，0），離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F且斜率為1的直線交橢圓于M，N兩點，P是直線x=4上任意一點．求證：直線PM，PF，PN的斜率成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由焦點坐標可得c=1，運用橢圓的離心率公式，可得a=2，再由a，b，c的關系求得b，進而得到所求橢圓方程；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（4，y₀），求得直線MN的方程，代入橢圓方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理，結合等差數(shù)列的中項的性質，即可得證．

解答 解：（1）由題意可得c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（4，y₀），
由題意可得直線MN的方程為y=x-1，
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得
7x²-8x-8=0，
x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
k_PM+k_PN=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{4-{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{0}-{y}_{2}}{4-{x}_{2}}$=$\frac{（{y}_{0}-{x}_{1}+1）（4-{x}_{2}）+（{y}_{0}-{x}_{2}+1）（4-{x}_{1}）}{（4-{x}_{1}）（4-{x}_{2}）}$
=$\frac{8{y}_{0}+8+2{x}_{1}{x}_{2}-（{y}_{0}+5）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16+{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{8{y}_{0}+8-\frac{16}{7}-\frac{8}{7}（{y}_{0}+5）}{16-\frac{8}{7}-\frac{32}{7}}$=$\frac{2{y}_{0}}{3}$，
又k_PF=$\frac{{y}_{0}}{3}$，則k_PM+k_PN=2k_PF，
則直線PM，PF，PN的斜率成等差數(shù)列．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用橢圓的性質：離心率，考查直線的斜率成等差數(shù)列，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和點滿足直線方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．