Question

13．根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第n（n∈N^*）個(gè)月共享單車(chē)的投放量和損失量分別為a_n和b_n（單位：輛），其中a_n=$\left\{\begin{array}{l}5{n^4}+15{，_{\;}}1≤n≤3\\-10n+470{，_{\;}}n≥4\end{array}$，b_n=n+5，第n個(gè)月底的共享單車(chē)的保有量是前n個(gè)月的累計(jì)投放量與累計(jì)損失量的差．
（1）求該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車(chē)的保有量；
（2）已知該地共享單車(chē)停放點(diǎn)第n個(gè)月底的單車(chē)容納量S_n=-4（n-46）²+8800（單位：輛）．設(shè)在某月底，共享單車(chē)保有量達(dá)到最大，問(wèn)該保有量是否超出了此時(shí)停放點(diǎn)的單車(chē)容納量？

Answer 1

分析 （1）計(jì)算出{a_n}和{b_n}的前4項(xiàng)和的差即可得出答案；
（2）令a_n≥b_n得出n≤42，再計(jì)算第42個(gè)月底的保有量和容納量即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n=$\left\{\begin{array}{l}5{n^4}+15{，_{\;}}1≤n≤3\\-10n+470{，_{\;}}n≥4\end{array}$，b_n=n+5
∴a₁=5×1⁴+15=20
a₂=5×2⁴+15=95
a₃=5×3⁴+15=420
a₄=-10×4+470=430
b₁=1+5=6
b₂=2+5=7
b₃=3+5=8
b₄=4+5=9
∴前4個(gè)月共投放單車(chē)為a₁+a₂+a₃+a₄=20+95+420+430=965，
前4個(gè)月共損失單車(chē)為b₁+b₂+b₃+b₄=6+7+8+9=30，
∴該地區(qū)第4個(gè)月底的共享單車(chē)的保有量為965-30=935．
（2）令a_n≥b_n，顯然n≤3時(shí)恒成立，
當(dāng)n≥4時(shí)，有-10n+470≥n+5，解得n≤$\frac{465}{11}$，
∴第42個(gè)月底，保有量達(dá)到最大．
當(dāng)n≥4，{a_n}為公差為-10等差數(shù)列，而{b_n}為等差為1的等比數(shù)列，
∴到第42個(gè)月底，單車(chē)保有量為$\frac{{a}_{4}+{a}_{42}}{2}$×39+535-$\frac{_{1}+_{42}}{2}$×42=$\frac{430+50}{2}$×39+535-$\frac{6+47}{2}$×42=8782．
S₄₂=-4×16+8800=8736．
∵8782＞8736，
∴第42個(gè)月底單車(chē)保有量超過(guò)了容納量．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列模型的應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．