Question

11．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CD的中點，則（　�。�

• A． A₁E⊥DC₁
• B． A₁E⊥BD
• C． A₁E⊥BC₁
• D． A₁E⊥AC

Answer 1

分析 法一：連B₁C，推導出BC₁⊥B₁C，A₁B₁⊥BC₁，從而BC₁⊥平面A₁ECB₁，由此得到A₁E⊥BC₁．
法二：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結(jié)果．

解答 解：法一：連B₁C，由題意得BC₁⊥B₁C，
∵A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，且BC₁?平面B₁BCC₁，
∴A₁B₁⊥BC₁，
∵A₁B₁∩B₁C=B₁，
∴BC₁⊥平面A₁ECB₁，
∵A₁E?平面A₁ECB₁，
∴A₁E⊥BC₁．
故選：C．
法二：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則A₁（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C₁（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-2，1，-2），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{BD}$=（-2，-2，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=-2，$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{BD}$=2，$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{AC}$=6，
∴A₁E⊥BC₁．
故選：C．

點評 本題考查線線垂直的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．