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19.設(shè)x、y、z為正數(shù),且2x=3y=5z,則( �。�
A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

分析 x、y、z為正數(shù),令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.可得3y=\frac{lgk}{lg\root{3}{3}},2x=lgklg2,5z=\frac{lgk}{lg\root{5}{5}}.根據(jù)\root{3}{3}=\root{6}{9}>\root{6}{8}=2,\sqrt{2}=\root{10}{32}\root{10}{25}=\root{5}{5}.即可得出大小關(guān)系.
另解:x、y、z為正數(shù),令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg52x3y=23×lg3lg2=lg9lg8>1,可得2x>3y,同理可得5z>2x.

解答 解:x、y、z為正數(shù),
令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.
則x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5
∴3y=\frac{lgk}{lg\root{3}{3}},2x=lgklg2,5z=\frac{lgk}{lg\root{5}{5}}
\root{3}{3}=\root{6}{9}>\root{6}{8}=2,\sqrt{2}=\root{10}{32}\root{10}{25}=\root{5}{5}
lg\root{3}{3}>lg2lg\root{5}{5}>0.
∴3y<2x<5z.
另解:x、y、z為正數(shù),
令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.
則x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5
2x3y=23×lg3lg2=lg9lg8>1,可得2x>3y,
5z2x=52×lg2lg5=lg25lg52>1.可得5z>2x.
綜上可得:5z>2x>3y.
解法三:對k取特殊值,也可以比較出大小關(guān)系.
故選:D.

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、換底公式、不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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