Question

14．已知函數(shù)$f（x）={sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}x-1$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得g（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）={sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}x-1$
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度得到
函數(shù)g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）+1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1 的圖象，
在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，g（x）取得最小值為0；
故當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，g（x）取得最大值為2+1=3．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．