Question

1．已知函數(shù)$f（x）=x{e^x}-a（\frac{x^2}{2}+x）（a∈R）$．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，$f（x）=x{e^x}-（\frac{x^2}{2}+x）$…1分
f'（x）=e^x+xe^x-（x+1）=e^x（x+1）-（x+1）=（x+1）（e^x-1）…2分
令f'（x）=0得x=-1，或x=0．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

∴x=-1時，f（x）有極大值$f（-1）=\frac{1}{2}-\frac{1}{e}$…3分
x=0時，f（x）有極小值f（0）=0…4分
（Ⅱ）f'（x）=e^x+xe^x-a（x+1）=e^x（x+1）-a（x+1）=（x+1）（e^x-a）
（1）當(dāng)a≤0時，e^x-a＞0，
由f'（x）＞0得x＞-1，即在（-1，+∞）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
由f'（x）＜0得x＜-1，即在（-∞，-1）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；…6分
（2）當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0得x=-1，或x=lna．
①當(dāng)lna=-1即a=e^-1時，無論x＞-1或x＜-1均有f'（x）＞0，又f'（-1）=0
即在R上，f'（x）≥0，從而函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；…8分
②當(dāng)lna＜-1即0＜a＜e^-1時，
由f'（x）=（x+1）（e^x-a）＞0⇒x＞-1或x＜lna時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
由f'（x）=（x+1）（e^x-a）＜0⇒lna＜x＜-1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；…10分
③當(dāng)lna＞-1即a＞e^-1時，
由f'（x）=（x+1）（e^x-a）＞0⇒x＞lna或x＜-1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
由f'（x）=（x+1）（e^x-a）＜0⇒-1＜x＜lna時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；…12分

點評 考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想和運算能力，是一道難題．