Question

7．已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N⁺，b_n是a_n和a_n+1的等比中項(xiàng)．
（1）設(shè)c_n=b_n+1²-b_n²，n∈N⁺，求證：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)a₁=d，T_n=$\sum_{k=1}^{2n}$（-1）^kb_k²，n∈N^*，求證：$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{T}_{k}}$＜$\frac{1}{29c8jd74^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，建立方程關(guān)系，根據(jù)條件求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可．
（2）求出T_n=$\sum_{k=1}^{2n}$（-1）^kb_k²的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求解，結(jié)合放縮法進(jìn)行不等式的證明即可．

解答 證明：（1）∵{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N⁺，b_n是a_n和a_n+1的等比中項(xiàng)．
∴c_n=b${\;}_{n+1}^{2}$-b${\;}_{n}^{2}$=a_n+1a_n+2-a_na_n+1=2da_n+1，
∴c_n+1-c_n=2d（a_n+2-a_n+1）=2d²為定值；
∴數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列；
（2）T_n=$\sum_{k=1}^{2n}$（-1）^kb_k²=（-b₁²+b₂²）+（-b₃²+b₄²）+…+（-b_2n-1²+b_2n²）=2d（a₂+a₄+…+a_2n）=2d$•\frac{n（{a}_{2}+{a}_{2n}）}{2}$
=2d²n（n+1），
∴$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{T}_{k}}$=$\frac{1}{2sgscv3t^{2}}$$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{k（k+1）}$=$\frac{1}{26tyujls^{2}}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2ni1p05c^{2}}$（1-$\frac{1}{n+1}$）$＜\frac{1}{2zys4tw1^{2}}$．
即不等式$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{T}_{k}}$$＜\frac{1}{2qcplx6o^{2}}$成立．

點(diǎn)評 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用以及數(shù)列與不等式的綜合，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)分別求出對應(yīng)的通項(xiàng)公式以及利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．