分析 (Ⅰ)利用已知條件,推出新數(shù)列是等比數(shù)列,然后求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)化簡(jiǎn)${b_n}={log_2}(\frac{1}{{{a_n}+1}})$,利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可證明結(jié)果.
解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由題意an=2an-1+1(n≥2,n∈N*)
∴an+1=2(an-1+1)…..(3分)
{an+1}是等比數(shù)列,公比為2,首項(xiàng)為:a1+1=4
∴${a_n}+1=4×{2^{n-1}}$…(5分)
∴${a_n}={2^{n+1}}-1$…(6分)
(Ⅱ)證明:${b_n}={log_2}(\frac{1}{{{a_n}+1}})$=$lo{g}_{2}(\frac{1}{{2}^{n+1}-1+1})$=-n-1,
$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{(n+2)(n+1)}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$,
$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$$+…+\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$$<\frac{1}{2}$成立.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列求和,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
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A. | [2,+∞) | B. | (2,+∞) | C. | (-∞,2] | D. | (-∞,2) |
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