5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=Sn-1+2an-1+1,(n≥2,n∈N*),且a1=3.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)${b_n}={log_2}(\frac{1}{{{a_n}+1}})$,求證:$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}<\frac{1}{2}$.

分析 (Ⅰ)利用已知條件,推出新數(shù)列是等比數(shù)列,然后求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)化簡(jiǎn)${b_n}={log_2}(\frac{1}{{{a_n}+1}})$,利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可證明結(jié)果.

解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由題意an=2an-1+1(n≥2,n∈N*
∴an+1=2(an-1+1)…..(3分)
{an+1}是等比數(shù)列,公比為2,首項(xiàng)為:a1+1=4
∴${a_n}+1=4×{2^{n-1}}$…(5分)
∴${a_n}={2^{n+1}}-1$…(6分)
(Ⅱ)證明:${b_n}={log_2}(\frac{1}{{{a_n}+1}})$=$lo{g}_{2}(\frac{1}{{2}^{n+1}-1+1})$=-n-1,
$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{(n+2)(n+1)}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$,
$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$$+…+\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$$<\frac{1}{2}$成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列求和,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

15.$\overrightarrow{OA}$=(1,1)在$\overrightarrow{OB}$=(4,3)上的投影為( 。
A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{7}{5}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

16.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( 。
A.B.10πC.12πD.8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

13.四棱錐P-ABCD,側(cè)面PCD為邊長(zhǎng)為2的正三角形,底面ABCD為對(duì)角線互相垂直的等腰梯形,M為AD的中點(diǎn),$PO=\sqrt{2}$. 
(Ⅰ)求證:PM⊥BC;
(Ⅱ)若△PAB的面積為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$,求三棱錐C-PAB的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

20.若函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{2}$ax2+(a-1)x+1在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,2]D.(-∞,2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

10.平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°,|$\overrightarrow{a}$|=2,$\overrightarrow$=($\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),則|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=( 。
A.$\sqrt{3}$B.2$\sqrt{3}$C.4D.12

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

17.如圖所示,在地面上有一旗桿OP,為測(cè)得它的高度h,在地面上取一線段AB,
AB=20m,在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OAP=30°,在B點(diǎn)測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OBP=45°,又測(cè)得∠AOB=30°,求旗桿的高度.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

14.直角△ABC的三邊a,b,c,滿足3≤a≤5≤b≤8≤c≤9,則△ABC面積的最大值是5$\sqrt{14}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

15.已知全集U=Z,集合A={x|0<x<5,x∈U},B={x|x≤1,X∈U},則A∩(∁UB)={2,3,4}.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案