Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=S_n-1+2a_n-1+1，（n≥2，n∈N^*），且a₁=3．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}={log_2}（\frac{1}{{{a_n}+1}}）$，求證：$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件，推出新數(shù)列是等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）化簡${b_n}={log_2}（\frac{1}{{{a_n}+1}}）$，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可證明結(jié)果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*）
∴a_n+1=2（a_n-1+1）…..（3分）
{a_n+1}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為：a₁+1=4
∴${a_n}+1=4×{2^{n-1}}$…（5分）
∴${a_n}={2^{n+1}}-1$…（6分）
（Ⅱ）證明：${b_n}={log_2}（\frac{1}{{{a_n}+1}}）$=$lo{g}_{2}（\frac{1}{{2}^{n+1}-1+1}）$=-n-1，
$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$$+…+\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$$＜\frac{1}{2}$成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．