Question

8．已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x-$\frac{π}{6}$）+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期
（Ⅱ）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=4sinxcos（x-$\frac{π}{6}$）+1．
化簡可得：f（x）=4sinxcosxcos$\frac{π}{6}$+4sin²xsin$\frac{π}{6}$+1
=$\sqrt{3}$sin2x+1-cos2x+1=2sin（2x$-\frac{π}{6}$）+2．
（Ⅰ）∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上時，
∴2x$-\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]
當(dāng)2x$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為2×$\frac{\sqrt{3}}{2}+2$=$\sqrt{3}+2$．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值為$\sqrt{3}+2$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．