Question

2．若函數(shù)g（x）滿足g（g（x））=n（n∈N）有n+3個解，則稱函數(shù)g（x）為“復合n+3解”函數(shù)．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+3，x≤0}\\{\frac{{e}^{x-1}}{x}}，x＞0\end{array}\right.$（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…，k∈R），且函數(shù)f（x）為“復合5解”函數(shù)，則k的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-e，e）
• C． （-1，1）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得f（f（x））=2，有5個解，設t=f（x），f（t）=2，當x＞0時，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值，得到f（t）=2在[1，+∞）有2個解，當x＜0時，根據(jù)函數(shù)恒過點（0，3），分類討論，即可求出當k＞0時，f（t）=2時有3個解，問題得以解決．

解答 解：函數(shù)f（x）為“復合5解“，
∴f（f（x））=2，有5個解，
設t=f（x），
∴f（t）=2，
∵當x＞0時，f（x）=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$，
∴f（x）=$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當x＞1時，f′（x）＞0，
函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=1，
∴t≥1，
∴f（t）=2在[1，+∞）有2個解，
當x≤0時，f（x）=kx+3，函數(shù)f（x）恒過點（0，3），
當k≤0時，f（x）≥f（0）=3，
∴t≥3
∵f（3）=$\frac{{e}^{2}}{3}$＞2，
∴f（t）=2在[3，+∞）上無解，
當k＞0時，f（x）≤f（0）=3，
∴f（t）=2，在（0，3]上有2個解，在（∞，0]上有1個解，
綜上所述f（f（x））=2在k＞0時，有5個解，
故選：D

點評 本題考查了新定義的應用以及函數(shù)的解得問題以及導數(shù)和函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是求出f（t）的定義域，屬于難題．