Question

15．已知圓C₁的圓心在坐標原點O，且與直線l₁：$x-\sqrt{2}y+6=0$相切，設點A為圓上一動點，AM⊥x軸于點M，且動點N滿足$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+（\frac{{\sqrt{3}}}{3}-\frac{1}{2}）\overrightarrow{OM}$，設動點N的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若動直線l₂：y=kx+m與曲線C有且僅有一個公共點，過F₁（-1，0），F₂（1，0）兩點分別作F₁P⊥l₂，F₂Q⊥l₂，垂足分別為P，Q，且記d₁為點F₁到直線l₂的距離，d₂為點F₂到直線l₂的距離，d₃為點P到點Q的距離，試探索（d₁+d₂）•d₃是否存在最值？若存在，請求出最值．

Answer 1

分析 （1）設圓C₁：x²+y²=R²，根據圓C₁與直線l₁相切，求出圓的方程為x²+y²=12，由此利用相關點法能求出曲線C的方程．
（2）將直線l₂：y=kx+m代入曲線C的方程3x²+4y²=12中，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、直線方程、橢圓性質、弦長公式，結合已知條件能求出（d₁+d₂）•d₃存在最大值，并能求出最大值．

解答 解：（1）設圓C₁：x²+y²=R²，根據圓C₁與直線l₁相切，
得$\frac{6}{\sqrt{1+2}}$R，即R=2$\sqrt{3}$，
∴圓的方程為x²+y²=12，
設A（x₀，y₀），N（x，y），∵AM⊥x軸于M，∴M（x₀，0），
∴（x，y）=$\frac{1}{2}$（x₀，y₀）+（$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}$）（x₀-0）=（$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}，\frac{1}{2}{y}_{0}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{0}}\\{y=\frac{1}{2}{y}_{0}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\sqrt{3}x}\\{{y}_{0}=2y}\end{array}\right.$，
∵點A（x₀，y₀）為圓C₁上的動點，
∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$=12，∴（$\sqrt{3}x$）²+（2y）²=12，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）由（1）中知曲線C是橢圓，
將直線l₂：y=kx+m代入橢圓C的方程3x²+4y²=12中，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
由直線l₂與橢圓C有且僅有一個公共點知，△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
整理得m²=4k²+3…（7分），且${d_1}=\frac{|m-k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，${d_2}=\frac{|m+k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
1°當k≠0時，設直線l₂的傾斜角為θ，則d₃•|tanθ|=|d₁-d₂|，即${d_3}=|\frac{{{d_1}-{d_2}}}{k}|$
∴$（{d_1}+{d_2}）{d_3}=（{d_1}+{d_2}）|\frac{{{d_1}-{d_2}}}{k}|=|\frac{{{d_1}^2-{d_2}^2}}{k}|=\frac{4|m|}{{1+{k^2}}}$=$\frac{4|m|}{{\frac{{{m^2}-3}}{4}+1}}=\frac{16}{{|m|+\frac{1}{|m|}}}$…（10分）
∵m²=4k²+3∴當k≠0時，$|m|＞\sqrt{3}$
∴$|m|+\frac{1}{|m|}＞\sqrt{3}+\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，∴$（{d_1}+{d_2}）{d_3}＜4\sqrt{3}$…（11分）
2°當k=0時，四邊形F₁F₂PQ為矩形，此時${d_1}={d_2}=\sqrt{3}$，d₃=2
∴$（{d_1}+{d_2}）{d_3}=2\sqrt{3}×2=4\sqrt{3}$…（12分）
綜上1°、2°可知，（d₁+d₂）•d₃存在最大值，最大值為$4\sqrt{3}$…（13分）

點評 本題綜合考查了圓的標準方程、向量的坐標運算，軌跡的求法，直線與橢圓位置關系；本題突出對運算能力、化歸轉化能力的考查，還要注意對特殊情況的考慮，本題難度大．