Question

10．平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow e$滿(mǎn)足$|{\overrightarrow e}|=1，\overrightarrow a•\overrightarrow e=1，\overrightarrow b•\overrightarrow e=2，|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，則$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 分別設(shè)設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂），$\overrightarrow{e}$=（1，0），由題意可得化為（y₁-y₂）²=3，只考慮y₁y₂＜0．不妨取y₂＞0，y₁＜0．利用基數(shù)量積運(yùn)算、本不等式可求答案．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂）．
∵$\overrightarrow{e}$滿(mǎn)足|$\overrightarrow{e}$|=1，∴不妨取$\overrightarrow{e}$=（1，0）．
∵$|{\overrightarrow e}|=1，\overrightarrow a•\overrightarrow e=1，\overrightarrow b•\overrightarrow e=2，|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，
∴x₁=1，x₂=2．
∴$\overrightarrow{a}$=（1，y₁），$\overrightarrow$=（2，y₂）．
∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，
∴$\sqrt{1+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=2，化為（y₁-y₂）²=3．
只考慮y₁y₂＜0．不妨取y₂＞0，y₁＜0．
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2+y₁y₂=2-（-y₁）y₂≥2-$\frac{-{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)-y₁=y₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴則$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值為$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．