Question

5．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，其外接圓半徑為1，（c-2a）cosB+bcosC=0．
（1）求角B的大��；
（2）求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由正弦定理可以將（c-2a）cosB+bcosC=0整理變形可得2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC，又由三角函數(shù)的和差公式可得2sinA•cosB=sin（B+C），進(jìn)而可得2sinA•cosB=sinA，即cosB=$\frac{1}{2}$，由B的范圍可得B的值．
（2）根據(jù)題意，由正弦定理可得b的值，同時(shí)可得a+c=2（sinA+sinC），由三角函數(shù)的和差公式變形可得a+c=2$\sqrt{3}$sin（C+$\frac{π}{6}$），結(jié)合C的范圍，計(jì)算可得a+c的范圍，由b的值，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，即2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC
變形可得：2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC
∴2sinA•cosB=sin（B+C）
∵在△ABC中，sin（B+C）=sinA
∴2sinA•cosB=sinA，即cosB=$\frac{1}{2}$，
則B=$\frac{π}{3}$；
（2）根據(jù)題意，由（1）可得B=$\frac{π}{3}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又由正弦定理b=2RsinB=$\sqrt{3}$，
a=2RsinA=2sinA，c=2RsinC=2sinC；
則a+c=2（sinA+sinC）=2[sin（$\frac{2π}{3}$-C）+sinC]=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{3}{2}$sinC]=2$\sqrt{3}$sin（C+$\frac{π}{6}$），
又由0＜C＜$\frac{2π}{3}$，則$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
則有$\frac{1}{2}$＜sin（C+$\frac{π}{6}$）≤1，
故$\sqrt{3}$＜a+c≤2$\sqrt{3}$，
則有2$\sqrt{3}$＜a+b+c≤3$\sqrt{3}$，
即△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理的應(yīng)用，涉及兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是正確運(yùn)用三角函數(shù)的和差公式，對(duì)三角函數(shù)恒等變形．