Question

15．某地十余萬考生的成績中，隨機地抽取了一批考生的成績，將其分為6組：第一組[40，50），第二組[50，60），…，第六組[90，100]，作出頻率分布直方圖，如圖所示
（I）用每組區(qū)間的中點值代表該組的數(shù)據(jù)，估算這批考生的平均成績；
（II）現(xiàn)從及格的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取了70名學(xué)生（其中女生有34名），已知成績“優(yōu)異”（超過90分）的女生有1名，能否有95%的把握認為數(shù)學(xué)成績優(yōu)異與性別有關(guān)？
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.01	0.05	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，計算平均數(shù)即可；
（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣原理計算從這四組中分別抽取的人數(shù)，
填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值表得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，計算平均數(shù)為
$\overline{x}$=（45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.025+85×0.01+95×0.005）×10=67；…（5分）
（Ⅱ）[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]四組學(xué)生的頻率之比為
0.3：0.25：0.1：0.05=6：5：2：1，
按分層抽樣應(yīng)該從這四組中分別抽取30，25，10，5人，
依題意，可得到以下列聯(lián)表：

	男生	女生	合計
優(yōu)異	4	1	5
一般（及格）	32	33	65
合計	36	34	70

${k^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}=\frac{{70{{（{4×33-32×1}）}^2}}}{36×34×5×65}≈1.76＜3.841$，
對照臨界值表知，不能有95%的把握認為數(shù)學(xué)成績優(yōu)異與性別有關(guān)．…（12分）

點評 本題考查了平均數(shù)與分層抽樣原理的應(yīng)用問題，也考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．