3．在△ABC中，O為其內(nèi)部一點，且滿足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OB}=\vec 0$，則△AOB和△AOC的面積比是（　�。�
A．3：4B．3：2C．1：1D．1：3

分析 設(shè)M為AC的中點，則由向量加法的平行四邊形法則可得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OM}$，結(jié)合題意可得2$\overrightarrow{OM}$=-3$\overrightarrow{OM}$，由數(shù)乘向量的性質(zhì)可得B，O，M三點共線，且2OM=3BO；進而可得$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{OM}{BM}$=$\frac{3}{5}$，而又由S△AOB+S△BOC=$\frac{2}{5}$S△ABC，分析可得S△AOB=$\frac{1}{5}$S△ABC，結(jié)合題意計算可得△AOB和△AOC的面積比，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，如圖：在△ABC中，M為AC的中點，
則$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OM}$，
又由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+3\overrightarrow{OB}=\vec 0$，則有2$\overrightarrow{OM}$=-3$\overrightarrow{OB}$，
從而可得B，O，M三點共線，且2OM=3BO；
由2OM=3BO可得，$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{OM}{BM}$=$\frac{3}{5}$，
S△AOB+S△BOC=$\frac{2}{5}$S△ABC，
又由S△AOB=S△BOC，則S△AOB=$\frac{1}{5}$S△ABC，
則$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AOC}}$=$\frac{1}{3}$；
故選：D．

點評 本題考查向量的加法運算及其幾何意義，向量的共線與點共線的相互轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)由2OM=3BO．

練習(xí)冊系列答案
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13．在直角坐標(biāo)系xoy中圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+3cosα\\ t=3sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程及其圓心C的直角坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．已知實數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+y≤2}\\{y≥x}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=kx+y僅在點（1，1）處取得最小值，則實數(shù)k的取值范圍是  （　　）
A．（-1，+∞）B．（-∞，-1）C．（1，+∞）D．（-∞，1）

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11．2016年鞍山地區(qū)空氣質(zhì)量的記錄表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為0.8，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為0.6，若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（　�。�
A．0.48B．0.6C．0.75D．0.8

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18．齊王與田忌賽馬，每人各有三匹馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，共進行三場比賽，每次各派一匹馬進行比賽，馬不能重復(fù)使用，三場比賽全部比完后勝利場次多者為勝，則田忌獲勝的概率為（　�。�
A．$\frac{1}{3}$B．$\frac{1}{4}$C．$\frac{1}{5}$D．$\frac{1}{6}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

8．已知球O外接于正四面體ABCD，小球O'與球O內(nèi)切于點D，與平面ABC相切，球O的表面積為9π，則小球O'的體積為（　�。�
A．$\frac{4π}{3}$B．4πC．6πD．$\frac{32π}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．某地十余萬考生的成績中，隨機地抽取了一批考生的成績，將其分為6組：第一組[40，50），第二組[50，60），…，第六組[90，100]，作出頻率分布直方圖，如圖所示
（I）用每組區(qū)間的中點值代表該組的數(shù)據(jù)，估算這批考生的平均成績；
（II）現(xiàn)從及格的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取了70名學(xué)生（其中女生有34名），已知成績“優(yōu)異”（超過90分）的女生有1名，能否有95%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)異與性別有關(guān)？
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
P（K2≥k0）0.010.050.0250.010
k02.7063.8415.0246.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

12．在區(qū)間[-1，m]上隨機選取一個數(shù)x，若x≤1的概率為$\frac{2}{5}$，則實數(shù)m的值為（　�。�
A．2B．3C．4D．5

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13．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}，\;0＜x≤1\;\\{log_a}x\;，x＞1\end{array}\right.$（a＞0且a≠1），若f（3a2）＞f（1-2a），則a的取值范圍是（　�。�
A．$0＜a＜\frac{1}{2}$B．$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$C．$0＜a＜\frac{1}{3}$D．a＞1或$0＜a＜\frac{1}{3}$

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