Question

13．在直角坐標(biāo)系xoy中圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+3cosα\\ t=3sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程及其圓心C的直角坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，轉(zhuǎn)化圓的參數(shù)方程為普通方程，然后求出圓的圓心坐標(biāo)；
（2）求出直線方程，利用圓心到直線的距離、半徑、半弦長(zhǎng)，滿足勾股定理，求出寫出，然后求解三角形的面積．

解答 解：（Ⅰ）圓C：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+3cosα}\\{y=3sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)）得圓C的直角坐標(biāo)方程：（x-2）²+y²=9，
圓心C的直角坐標(biāo)C（2，0）．…（4分）
（Ⅱ）1°．直線l的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$．
可得：直線l的直角坐標(biāo)方程：x-y=0；…（5分）
2°．圓心C（2，0）到直線l的距離$d=\frac{|2-0|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，圓C的半徑r=3，
弦長(zhǎng)$|AB|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{7}$．…（8分）
3°．△ABC的面積=$\frac{1}{2}|AB|×d=\frac{1}{2}×2\sqrt{7}×\sqrt{2}=\sqrt{14}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程與普通方程的互化，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．