Question

14．已知實數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+y≤2}\\{y≥x}\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=kx+y僅在點（1，1）處取得最小值，則實數(shù)k的取值范圍是  （　�。�

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用目標函數(shù)z=kx+y取得最小值時的唯一最優(yōu)解是（1，1），得到直線y=-kx+z斜率的變化，從而求出k的取值范圍

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分OAB）．
由z=kx+y得y=-kx+z，即直線的截距最大，z也最大．
平移直線y-kx+z，要使目標函數(shù)z=kx+y取得最小值時的唯一最優(yōu)解是（1，1），
即直線y=-kx+z經(jīng)過點A（1，1）時，截距最小，
由圖象可知當陰影部分必須在直線y=-kx+z的右上方，
此時只要滿足直線y=-kx+z的斜率-k大于直線OA的斜率即可
直線OA的斜率為1，
∴-k＞1，所以k＜-1．
故選：B

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．根據(jù)目標函數(shù)在A（1，1）取得最小值，得到直線斜率的關系是解決本題的關鍵