Question

20．在直角坐標系xOy中，曲線${C_1}：{（{x-1}）^2}+{y^2}=1$，曲線C₂的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)），以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系．
（1）求C₁，C₂的極坐標方程；
（2）射線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x（{x≥0}）$與C₁的異于原點的交點為A，與C₂的交點為B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入曲線C₁方程可得曲線C₁的極坐標方程．曲線C₂的普通方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入，得到C₂的極坐標方程．
（2）射線的極坐標方程為$θ=\frac{π}{6}（{ρ≥0}）$，與曲線C₁的交點的極徑為ρ₁，射線$θ=\frac{π}{6}（{ρ≥0}）$與曲線C₂的交點的極徑滿足${ρ^2}（{1+{{sin}^2}\frac{π}{6}}）=2$，解得ρ₂．可得|AB|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（1）將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入曲線C₁方程：（x-1）²+y²=1，
可得曲線C₁的極坐標方程為ρ=2cosθ，
曲線C₂的普通方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入，
得到C₂的極坐標方程為ρ²（1+sin²θ）=2．
（2）射線的極坐標方程為$θ=\frac{π}{6}（{ρ≥0}）$，與曲線C₁的交點的極徑為${ρ_1}=2cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$，
射線$θ=\frac{π}{6}（{ρ≥0}）$與曲線C₂的交點的極徑滿足${ρ^2}（{1+{{sin}^2}\frac{π}{6}}）=2$，解得${ρ_2}=\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$
所以$|{AB}|=|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3}-\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．

點評 本題考查了極坐標方程與普通方程的互化及其應用、曲線的交點、參數(shù)方程化為普通方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．