Question

6．已知關(guān)于x的方程|log₄x|=$\frac{1}{{2}^{x}}$有兩個實數(shù)根（x₁，x₂），求證：x₁x₂＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 畫出y=|log₄x|和y=$\frac{1}{{2}^{x}}$的圖象圖象，根據(jù)圖象得出x₁，x₂的范圍，從而得出結(jié)論．

解答 解：做出y=|log₄x|和y=$\frac{1}{{2}^{x}}$的函數(shù)圖象，

設(shè)x₁＜x₂，顯然x₁＜1＜x₂．
則當(dāng)0＜x＜x₁時，|log₄x|＞$\frac{1}{{2}^{x}}$，當(dāng)x₁＜x＜x₂時，$\frac{1}{{2}^{x}}$＞|log₄x|，當(dāng)x＞x₂時，|log₄x|＞$\frac{1}{{2}^{x}}$．
∵$\frac{1}{{2}^{\frac{1}{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，|log₄$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
∴x₁$＞\frac{1}{2}$，
又x₂＞1，
∴x₁x₂$＞\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題的過程中用了分類討論的思想，是一道中檔題．