Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-|x-4|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）若?x∈R，|f（x）|≤2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍求出不等式的解集即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為|f（x）|_max≤2，通過討論a的范圍得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ） 由|x+1|-|x-4|≥4得：
①$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\-5≥4\end{array}\right.⇒∅$或  ②$\left\{\begin{array}{l}-1≤x≤4\\ 2x-3≥4\end{array}\right.⇒\left\{{\left.x\right|\frac{7}{2}≤x≤4}\right\}$或  ③$\left\{\begin{array}{l}x＞4\\ 5≥4\end{array}\right.⇒\left\{{x\left|{x＞4}\right.}\right\}$，
綜上所述f（x）≥4的解集為$[{\frac{7}{2}，+∞}）$．
（Ⅱ）?x∈R，|f（x）|≤2恒成立，可轉(zhuǎn)化為|f（x）|_max≤2
分類討論
①當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=0≤2顯然恒成立．
②當(dāng)a＜4時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-4，（x＜a）}\\{2x-a-4，（a≤x≤4）}\\{-a+4，（x＞4）}\end{array}\right.$，
③當(dāng)a＞4時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-4，（x＜4）}\\{-2x+a+4，（4≤x≤a）}\\{-a+4，（x＞a）}\end{array}\right.$，
由②③知，|f（x）|_max=|a-4|≤2，
解得2≤a≤6且a≠4，
綜上所述：a的取值范圍為[2，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．