Question

3．已知函數(shù)$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+sin（2x-\frac{π}{6}）+cos2x+1$
（1）求函數(shù)f（x）的對稱中心和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若$f（A）=3，B=\frac{π}{4}，a=\sqrt{3}$，求AB．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，令$2x+\frac{π}{6}=kπ$即可解得對稱中心，由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由已知可求2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=3，進而解得$sin（2A+\frac{π}{6}）=1$，解得A的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC，利用正弦定理可求c的值．

解答 解：（1）$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+sin（2x-\frac{π}{6}）+cos2x+1$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
令$2x+\frac{π}{6}=kπ$⇒$x=-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，（k∈Z）$，
∴對稱中心為（-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，1），（k∈Z），
要使f（x）函數(shù)的單調(diào)遞增，可得：$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
∴$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$，
（2）∵$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1\;，\;\;f（A）=3$，
∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=3，
$sin（2A+\frac{π}{6}）=1$，
$又\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：A=$\frac{π}{6}$，
∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，可得：$\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{1}{2}}}=\frac{c}{{\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}}}$，可求AB=c=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．