Question

5．已知A，B分別為橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右頂點，不同兩點P，Q在橢圓C上，且關于x軸對稱，設直線AP，BQ的斜率分別為m，n，則當$\frac{a}+3\sqrt{mn}$取最小值時，橢圓C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 由題意設P和Q點坐標，代入橢圓方程利用橢圓的離心率公式即可求得mn的值，利用基本不等式的關系，即可求得a和b的關系，利用橢圓的離心率即可求得橢圓的離心率．

解答 解：設P（x₀，y₀），則Q（x₀，-y₀），y₀²=$\frac{^{2}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{a}^{2}}$．
A（-a，0），B（a，0），
則m=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，n=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，
∴mn=（$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$）（-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$）=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{a}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{a}+3\sqrt{mn}$=$\frac{a}$+$\frac{3b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{3b}{a}}$=2$\sqrt{3}$，當且僅當$\frac{a}$=$\frac{3b}{a}$，即a=$\sqrt{3}$b時，等號成立，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故選D．

點評 本題考查橢圓的離心率公式，直線的斜率公式及基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．