Question

5．設函數f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2mlnx（m∈R）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若f（x）有兩個極值點是x₁，x₂，過點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直線的斜率為k，問是否存在m使得k=2-2m？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，結合二次函數的性質判斷導函數的符號，從而求出函數的單調區(qū)間；
（2）假設存在，根據x₁+x₂=2m，x₁x₂=1，得到消元得$ln\frac{1}{x_2}-ln{x_2}=\frac{1}{x_2}-{x_2}$，根據f（x）的單調性判斷函數無零點，得出結論即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域（0，+∞），
$f'（x）=\frac{{{x^2}-2mx+1}}{x^2}$，令h（x）=x²-2mx+1，
△=4m²-4=4（m²-1），
當△＞0即m＞1或m＜-1時，方程h（x）=0有兩個根，
設方程x²-2mx+1=0的兩根是：x₁，x₂，且x₁＜x₂，
解得：x₁=m-$\sqrt{{m}^{2}-1}$，x₂=m+$\sqrt{{m}^{2}-1}$，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=1，
當△≤0時，即m∈[-1，1]時，f′（x）≥0，原函數在定義域上單調遞增，
當m＜-1時，△＞0，兩根均為負，f（x）在定義域上單調遞增，
當m＞1時，△＞0，兩根均為正，
故f（x）在區(qū)間（0，m-$\sqrt{{m}^{2}-1}$），（m+$\sqrt{{m}^{2}-1}$，+∞）遞增，在（m-$\sqrt{{m}^{2}-1}$，m+$\sqrt{{m}^{2}-1}$）遞減；
（2）由（1）知函數有兩個極值點時m＞1且x₁+x₂=2m，x₁x₂=1
AB斜率$k=\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=2-2m\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
若k=2-2m，則$\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=1$，
兩根均為正且x₁x₂=1，若x₁＜x₂，則x₁＜1，x₂＞1，
消元得$ln\frac{1}{x_2}-ln{x_2}=\frac{1}{x_2}-{x_2}$，
整理得x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$-2lnx₂=0，
由（1）知$f（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx$在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，
因此f（x）＞f（1）=0，函數沒有零點，
故這樣的m值不存在．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道綜合題．