Question

20．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），直線l：y=x+m與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若0≤m＜1，則△FAB的面積的最大值是$\frac{8\sqrt{6}}{9}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的方程，由直線l：y=x+m與拋物線方程，聯(lián)立得x²+（2m-4）x+m²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，求出直線l被拋物線E所截得弦長(zhǎng)|AB|，得出△FAB面積表達(dá)式，利用基本不等式求出最值來(lái)．

解答 解：∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），
∴拋物線的方程為y²=4x
由直線l：y=x+m與拋物線方程，聯(lián)立得x²+（2m-4）x+m²=0，
由直線l與拋物線E有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
得△=（2m-4）²-4m²=16-16m＞0在0≤m＜1時(shí)恒成立；
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4-2m，x₁x₂=m²；
|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=4$\sqrt{2}$•$\sqrt{1-m}$
又∵點(diǎn)F（1，0）到直線l：y=x+m的距離為d=$\frac{|1+m|}{\sqrt{2}}$，
∴△FAB的面積為S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=2$\sqrt{（1-m）（1+m）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（2-2m）（1+m）（1+m）}$
≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{2-2m+1+m+1+m}{3}）^{3}}$=$\frac{8\sqrt{6}}{9}$
當(dāng)且僅當(dāng)2-2m=1+m，即m=$\frac{1}{3}$時(shí)取等號(hào)，即△FAB的面積的最大值為$\frac{8\sqrt{6}}{9}$．
故答案為：$\frac{8\sqrt{6}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，確定三角形的面積，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．