Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁）到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離d=2λp（λ＞0）
（1）若y₁=d=3，求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若$\overrightarrow{AM}$+λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，求證：直線(xiàn)AB的斜率的平方為定值．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，由題意可得AF⊥x軸，即有p=3，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)B（x₂，y₂），AB：y=k（x+$\frac{p}{2}$），代入拋物線(xiàn)的方程，可得x的方程，運(yùn)用判別式大于0和求根公式，運(yùn)用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，可得2p=x₂-x₁，解方程即可得到所求定值．

解答 解：（1）拋物線(xiàn)y²=2px的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-$\frac{p}{2}$，
則|AF|=y₁，可得AF⊥x軸，
則x₁=$\frac{p}{2}$，即有d=$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{2}$=3，即p=3，
則拋物線(xiàn)的方程為y²=6x；
（2）證明：設(shè)B（x₂，y₂），AB：y=k（x+$\frac{p}{2}$），代入拋物線(xiàn)的方程，可得
k²x²+p（k²-2）x+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0，
由△=p²（k²-2）²-k⁴p²＞0，即為k²＜1，
x₁=$\frac{-p（{k}^{2}-2）-2p\sqrt{1-{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$，x₂=$\frac{-p（{k}^{2}-2）+2p\sqrt{1-{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$，
由d=2λp，可得x₁+$\frac{p}{2}$=2λp，
由$\overrightarrow{AM}$+λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，M（-$\frac{p}{2}$，0），
可得x₁+$\frac{p}{2}$=λ（x₂-x₁），
即有2p=x₂-x₁=$\frac{2p\sqrt{1-{k}^{2}}}{{k}^{2}}$，
解得k²=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故直線(xiàn)AB的斜率的平方為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，注意定義法的運(yùn)用，考查直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．