Question

5．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，AC=AB₁．
（1）證明：AB⊥B₁C；
（2）若∠CAB₁=90°，∠CBB₁=60°，AB=BC=2，求三棱錐B₁-ACB的體積．

Answer 1

分析 （1）連接BC₁，交B₁C于點(diǎn)O，連接AO，由題意可得B₁C⊥BC₁，且O為B₁C和BC₁ 的中點(diǎn)．結(jié)合AC=AB₁，可得AO⊥B₁C，再由線面垂直的判定定理可得B₁C⊥平面ABO，進(jìn)一步得到AB⊥B₁C；
（2）由側(cè)面BB₁C₁C為菱形，且∠CBB₁=60°，可得△BCB₁為等邊三角形，求解直角三角形得到BO，再證得AO⊥OB，可得AO⊥平面BCB₁，然后利用等積法求得三棱錐B₁-ACB的體積．

解答 （1）證明：連接BC₁，交B₁C于點(diǎn)O，連接AO，
∵側(cè)面BB₁C₁C為菱形，∴B₁C⊥BC₁，且O為B₁C和BC₁ 的中點(diǎn)．
∵AC=AB₁，∴AO⊥B₁C，又AO∩BC₁=O，
∴B₁C⊥平面ABO，
由于AB?平面ABO，故AB⊥B₁C；
（2）解：∵側(cè)面BB₁C₁C為菱形，且∠CBB₁=60°，
∴△BCB₁為等邊三角形，即BC=BB₁=B₁C=2．
在Rt△BOC中，BO=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$．
∵∠CAB₁=90°，∴△ACB₁為等腰直角三角形，又O為B₁C的中點(diǎn)，
∴AO=OC=1，
在△BOA中，AB=2，OA=1，OB=$\sqrt{3}$，∴OB²+OA²=AB²成立，則AO⊥OB，
又AO⊥CB₁，∴AO⊥平面BCB₁，
∴${V}_{{B}_{1}-ACB}={V}_{A-BC{B}_{1}}=\frac{1}{3}•{S}_{△BC{B}_{1}}•AO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BO×{B}_{1}C×AO=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．