Question

5．張老師進行教學(xué)改革實驗，甲班用“模式一”進行教學(xué)，乙班用“模式二”進行教學(xué)，經(jīng)過一段時間后，兩班用同一套試卷進行測試（滿分100 分），按照優(yōu)秀（大于或等于90 分）和非優(yōu)秀（90 分以下）統(tǒng)計成績，得到如下2×2列聯(lián)表：

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計
甲班	10
乙班		26
合計			90

已知在兩個班總計90人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為$\frac{4}{15}$．
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（其中n=a+b+c+d）．

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（1）請完成上面的2×2列聯(lián)表；
（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，判斷能否有95%以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)模式有關(guān)”；
（3）若甲班成績優(yōu)秀的10 名同學(xué)中，男生有6 名，女生有4 名，現(xiàn)從這10 名同學(xué)中選2 名學(xué)生參加座談，求其中至少含1 名女生的概率．

Answer 1

分析 （1）求得兩個班成績優(yōu)秀的學(xué)生為24，即可求得2×2列聯(lián)表；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表；求出K²，與臨界值比較，即可得到?jīng)]有95%以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)模式有關(guān)”．
（3）根據(jù)古典概型公式，即可求得至少含1 名女生的概率．

解答 解：（1）在90人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為$\frac{4}{15}$，
所以兩個班成績優(yōu)秀的學(xué)生共有90×$\frac{4}{15}$=24人．
可得2×2列聯(lián)表如下：

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計
甲班	10	40	50
乙班	14	26	40
合計	24	66	90

（2）K²=$\frac{90×（{10×26-14×40）}^{2}}{34×66×50×40}$=$\frac{225}{88}$≈2.557＜3.841，
因此沒有95%以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)模式有關(guān)”．
（3）10名同學(xué)選2名的同學(xué)的事件總數(shù)為${C}_{10}^{2}$，
全為男同學(xué)的事件為A，事件個數(shù)為${C}_{6}^{2}$，
10名同學(xué)選2名同學(xué)的概率為P（A）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$
至少含1 名女生的概率P=1-$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，古典概型計算公式，屬于中檔題．