Question

13．已知函數(shù)g（x）=log₂（x-1），f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1），
（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；
（2）在（1）的條件下求函數(shù)y=g（x）+f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和換底公式，可得x-1≥$\frac{1}{x+1}$＞0，由不等式的解法，即可得到所求解集；
（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，求得函數(shù)y在[$\sqrt{2}$，+∞）為增函數(shù)，即可得到所求值域．

解答 解：（1）由g（x）≥f（x） 得log₂（x-1）≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1），
即為x-1≥$\frac{1}{x+1}$＞0，
有x≥$\sqrt{2}$或x≤-$\sqrt{2}$，且x+1＞0，x-1＞0，
則不等式g（x）≥f（x）的解集為{x|x≥$\sqrt{2}$}；
（2）y=g（x）+f（x）=log₂（x-1）-log₂（x+1）=log₂$\frac{x-1}{x+1}$，
由y=log₂（1-$\frac{2}{x+1}$），由t=1-$\frac{2}{x+1}$在（1，+∞）遞增，y=log₂t在（0，+∞）遞增，
可得函數(shù)y=log₂$\frac{x-1}{x+1}$在[$\sqrt{2}$，+∞）為增函數(shù)，
則x=$\sqrt{2}$時，y取得最小值log₂（3-2$\sqrt{2}$），
且t＜1，可得y=log₂t＜0，
即有函數(shù)y=g（x）+f（x）的值域為[log₂（3-2$\sqrt{2}$），0）．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，考查不等式的解法，屬于中檔題