Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x+m|+|2x-1|（m∈R）
（I）當m=-1時，求不等式f（x）≤2的解集；
（II）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集為A，且[$\frac{3}{4}$，2]⊆A，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問題轉(zhuǎn)化為|x-1|+|2x-1|≤2，通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為|x+m|+|2x-1|≤|2x+1|在x∈[$\frac{3}{4}$，2]上恒成立，根據(jù)（-x-2）_max≤m≤（-x+2）_min，求出m的范圍即可．

解答 解：（ I）當m=-1時，f（x）=|x-1|+|2x-1|，
f（x）≤2⇒|x-1|+|2x-1|≤2，
上述不等式可化為：
$\left\{\begin{array}{l}{x≤\frac{1}{2}}\\{1-x+1-2x≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜x＜1}\\{1-x+2x-1≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1+2x-1≤2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x≤\frac{1}{2}}\\{x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜x＜1}\\{x≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x≤\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴0≤x≤$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜x＜1或1≤x≤$\frac{4}{3}$，
∴原不等式的解集為{x|0≤x≤$\frac{4}{3}$}．
（ II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含[$\frac{3}{4}$，2]，
∴當x∈[$\frac{3}{4}$，2]時，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，
即|x+m|+|2x-1|≤|2x+1|在x∈[$\frac{3}{4}$，2]上恒成立，
∴|x+m|+2x-1≤2x+1，
即|x+m|≤2，∴-2≤x+m≤2，
∴-x-2≤m≤-x+2在x∈[$\frac{3}{4}$，2]上恒成立，
∴（-x-2）_max≤m≤（-x+2）_min，
∴-$\frac{11}{4}$≤m≤0，
所以實數(shù)m的取值范圍是[-$\frac{11}{4}$，0]．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質(zhì)以及分類討論思想，是一道中檔題．