Question

8．某高中組織數(shù)學(xué)知識競賽，采取答題闖關(guān)的形式，分兩種題型，每種題型設(shè)兩關(guān)．“數(shù)學(xué)文化”題答對一道得5分，“數(shù)學(xué)應(yīng)用”題答對一道得10分，答對一道題即可進(jìn)入下一關(guān)，否則終止比賽．有甲、乙、丙三人前來參賽，設(shè)三人答對每道題的概率分別是$\frac{3}{4}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$，三人答題互不影響．甲、乙選擇“數(shù)學(xué)文化”題，丙選擇“數(shù)學(xué)應(yīng)用”題．
（Ⅰ）求乙、丙兩人所得分?jǐn)?shù)相等的概率；
（Ⅱ）設(shè)甲、丙兩人所得分?jǐn)?shù)之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列與期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）乙、丙所得分?jǐn)?shù)相等時，應(yīng)為0分或10分，計算對應(yīng)的概率值即可；
（Ⅱ）根據(jù)題意，X的可能取值為0，5，10，15，20，25，30，求出對應(yīng)的概率值，寫出X的分布列，再計算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）乙、丙所得分?jǐn)?shù)相等時，應(yīng)為0分或10分，
其概率為P=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{18}$；
（Ⅱ）設(shè)甲、丙兩人所得分?jǐn)?shù)之和為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為0，5，10，15，20，25，30，
其概率為P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{6}$，
P（X=5）=$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{9}$，
P（X=10）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{36}$，
P（X=15）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{18}$，
P（X=20）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{36}$，
P（X=25）=$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{18}$，
P（X=30）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{9}$；
∴X的分布列為：

X	0	5	10	15	20	25	30
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{7}{36}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{9}$

數(shù)學(xué)期望為EX=0×$\frac{1}{6}$+5×$\frac{1}{9}$+10×$\frac{11}{36}$+15×$\frac{1}{18}$+20×$\frac{7}{36}$+25×$\frac{1}{18}$+30×$\frac{1}{9}$=$\frac{235}{18}$．

點評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，也考查了分析與計算能力，是綜合題．