Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinωxsin（{\frac{π}{2}-ωx}）-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}（{ω＞0}）$，其圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為$\sqrt{5}$．
（I）求f（x）的解析式及對(duì)稱中心；
（II）求函數(shù)f（x）在$[{-1，\frac{1}{2}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角和誘導(dǎo)公式以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為$\sqrt{5}$．求出相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)橫坐標(biāo)的距離就是$\frac{1}{2}T$，可得T的值，從而求出ω．可得f（x）的解析式及對(duì)稱中心；
（II）x∈$[{-1，\frac{1}{2}}]$上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的取值范圍．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinωxsin（{\frac{π}{2}-ωx}）-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}（{ω＞0}）$，
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）
設(shè)函數(shù)f（x）的最小正周期為T，
∵圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的距離為$\sqrt{5}$．相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的差為2．
∴相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)橫坐標(biāo)的距離為$\frac{1}{2}T$=5-4
∴T=2，即$\frac{2π}{2ω}=2$，
∴ω=$\frac{π}{2}$．
則f（x）的解析式為：f（x）=sin（πx-$\frac{π}{6}$）
令πx-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，
可得：x=k$+\frac{1}{6}$．
∴f（x）的對(duì)稱中心為（$k+\frac{1}{6}，0$），k∈Z；
（II）x∈$[{-1，\frac{1}{2}}]$上時(shí)，
可得：$-\frac{7π}{6}≤πx-\frac{π}{6}≤\frac{π}{3}$，
當(dāng)πx-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-1．
當(dāng)πx-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴函數(shù)f（x）在$[{-1，\frac{1}{2}}]$上的最小值為-1．最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．