Question

7．設(shè)集合A_n={1，2，3，…，n}（n∈N^*，n≥3），記A_n中的元素組成的非空子集為$A_i^'$（i∈N^*，i=1，2，3，…，2ⁿ-1），對(duì)于?i∈{1，2，3，…，2ⁿ-1}，$A_i^'$中的最小元素和為S_n，則S₅=（　�。�

• A． 32
• B． 57
• C． 75
• D． 480

Answer 1

分析 題意得：在所有非空子集中每個(gè)元素出現(xiàn)2^n-1次．故有2^n-1個(gè)子集含1，有2^n-2個(gè)子集不含1含2，有2^n-3子集不含1，2，含3…有2^i-1個(gè)子集不含1，2，3…i-1，而含i，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法求出其和．

解答 解：由題意得：在所有非空子集中每個(gè)元素出現(xiàn)2^n-1次．
故有2^n-1個(gè)子集含1，有2^n-2個(gè)子集不含1含2，有2^n-3子集不含1，2，含3…有2^i-1個(gè)子集不含1，2，3…i-1，而含i．
所以S_n=2^n-1×1+2^n-2×2+…+2¹×（n-1）+n
S_n=n•1+（n-1）•2+…+2•2^n-2+1•2^n-1…①
所以2S_n=n•2+（n-1）•4+…+2•2^n-1+1•2ⁿ…②
所以①-②可得-S_n=n-（2+4+…+2^n-1+2ⁿ）
所以S_n=2ⁿ⁺¹-n-2
所以S₅=2⁶-5-2=57．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了錯(cuò)位相減法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．