Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²e^ax．
（Ⅰ）當(dāng)a＜0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）在（1）條件下，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$，求證：當(dāng)a=1，對?x∈（0，1），g（x）-xf（x）＞2恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值即可；
（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為證明$（2-{x^3}）{e^x}＞2+\frac{lnx}{x}$，令h（x）=（2-x³）e^x，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^ax（ax²+2x），令f'（x）=0可得，x=0或$x=-\frac{2}{a}$．（2分）
又a＜0，則可知f（x）在（-∞，0）和$（-\frac{2}{a}，+∞）$上單調(diào)遞減；在$[0，-\frac{2}{a}]$上單調(diào)遞增．（4分）
（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，當(dāng)$-\frac{2}{a}≥1$，即-2≤a＜0時，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
則f（x）最大值為f（1）=e^a；（6分）
當(dāng)$-\frac{2}{a}＜1$，即a＜-2時，f（x）在$[0，-\frac{2}{a}]$單調(diào)遞增，在$（-\frac{2}{a}，+∞）$上單調(diào)遞減，
則f（x）的最大值為$f（-\frac{2}{a}）=\frac{4}{a^2}{e^{-2}}$．（9分）
（Ⅲ）要證g（x）-xf（x）＞2，即證$（2-{x^3}）{e^x}＞2+\frac{lnx}{x}$，（10分）
令h（x）=（2-x³）e^x，則h'（x）=（-x³-3x²+2）e^x=-e^x（x+1）（x²+2x-2），
又x∈（0，1），可知在x∈（0，1）內(nèi)存在極大值點，又h（0）=2，h（1）=e，
則h（x）在x∈（0，1）上恒大于2，（11分）
而$2+\frac{lnx}{x}$在x∈（0，1）上恒小于2，因此g（x）-xf（x）＞2在x∈（0，1）上恒成立．（12分）

點評 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運算，用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等，考查學(xué)生解決問題的綜合能力．